約瑟夫·拉格朗日（法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。

人物生平

拉格朗日父親是法國(guó)陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破產(chǎn)，家道中落。據(jù)拉格朗日本人回憶，如果幼年時(shí)家境富裕，他也就不會(huì)作數(shù)學(xué)研究了，因?yàn)楦赣H一心想把他培養(yǎng)成為一名律師。拉格朗日個(gè)人卻對(duì)法律毫無(wú)興趣。

拉格朗日科學(xué)研究所涉及的領(lǐng)域極其廣泛。他在數(shù)學(xué)上最突出的貢獻(xiàn)是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開(kāi)來(lái)，使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。

拉格朗日總結(jié)了18世紀(jì)的數(shù)學(xué)成果，同時(shí)又為19世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究開(kāi)辟了道路，堪稱法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)大師。同時(shí)，他的關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)（三體問(wèn)題）、行星運(yùn)動(dòng)、軌道計(jì)算、兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題、流體力學(xué)等方面的成果，在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上，也起到了歷史性的作用，促進(jìn)了力學(xué)和天體力學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，成為這些領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng)性或奠基性研究。

在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價(jià)值的貢獻(xiàn)，推動(dòng)一代數(shù)學(xué)的發(fā)展。他提交給柏林科學(xué)院兩篇著名的論文：《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》 。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，即把方程化為低一次的方程（稱輔助方程或預(yù)解式）以求解。

拉格朗日也是分析力學(xué)的創(chuàng)立者。拉格朗日在其名著《分析力學(xué)》中，在總結(jié)歷史上各種力學(xué)基本原理的基礎(chǔ)上，發(fā)展達(dá)朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢(shì)和等勢(shì)面的概念，進(jìn)一步把數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)，提出了運(yùn)用于靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的普遍方程，引進(jìn)廣義坐標(biāo)的概念，建立了拉格朗日方程，把力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W(xué)形式，奠定了分析力學(xué)的基礎(chǔ)，為把力學(xué)理論推廣應(yīng)用到物理學(xué)其他領(lǐng)域開(kāi)辟了道路。

他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸上的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（拉格朗日陀螺）的歐拉動(dòng)力學(xué)方程的解，對(duì)三體問(wèn)題的求解方法有重要貢獻(xiàn)，解決了限制性三體運(yùn)動(dòng)的定型問(wèn)題。拉格朗日對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的理論也有重要貢獻(xiàn)，提出了描述流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日方法。

拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)。他用自己在分析力學(xué)中的原理和公式，建立起各類天體的運(yùn)動(dòng)方程。在天體運(yùn)動(dòng)方程的解法中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了三體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解，即拉格朗日平動(dòng)解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動(dòng)問(wèn)題，提出了彗星起源假說(shuō)等。

近百余年來(lái)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是對(duì)分析數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一。

出身

拉格朗日父姓拉格朗日亞（Lagrangia）。拉格朗日在都靈出生受洗記錄上的正式名字為約瑟普·洛德維科·拉格朗日亞（Giuseppe Lodovico，Lagrangia）。父名弗朗切斯科·洛德維科·拉格朗日亞（Francesco Lodovico， Lagrangia）；母名泰雷薩·格羅索（Teresa Grosso）。他曾用過(guò)的姓有德·拉·格朗日（De la Grange），拉·格朗日（La Grange）等。去世后，法蘭西研究院給他寫(xiě)的頌詞中，正式用約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange ）。父系為法國(guó)后裔。曾祖是法國(guó)騎兵上校，到意大利后與羅馬家族的人結(jié)婚定居；祖父任都靈的公共事務(wù)和防務(wù)局會(huì)計(jì)，又同當(dāng)?shù)厝私Y(jié)婚。父親也在都靈同一單位工作，共有11個(gè)子女，但大多數(shù)夭折，拉格朗日最大。

青年時(shí)代

到了青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家雷維里的教導(dǎo)下，拉格朗日喜愛(ài)上了幾何學(xué)。17歲時(shí)，他讀了英國(guó)天文學(xué)家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》后，感覺(jué)到“分析才是自己最熱愛(ài)的學(xué)科”，從此他迷上了數(shù)學(xué)分析，開(kāi)始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。

18歲時(shí)，拉格朗日用意大利語(yǔ)寫(xiě)了第一篇論文，是用牛頓二項(xiàng)式定理處理兩函數(shù)乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語(yǔ)寫(xiě)出寄給了當(dāng)時(shí)在柏林科學(xué)院任職的數(shù)學(xué)家歐拉。不久后，他獲知這一成果早在半個(gè)世紀(jì)前就被萊布尼茲取得了。這個(gè)并不幸運(yùn)的開(kāi)端并未使拉格朗日灰心，相反，更堅(jiān)定了他投身數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的信心。

游歷時(shí)代

1755年拉格朗日19歲時(shí)，在探討數(shù)學(xué)難題“等周問(wèn)題”的過(guò)程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發(fā)展了歐拉所開(kāi)創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。變分法的創(chuàng)立，使拉格朗日在都靈聲名大振，并使他在19歲時(shí)就當(dāng)上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。

1764年，法國(guó)科學(xué)院懸賞征文，要求用萬(wàn)有引力解釋月球天平動(dòng)問(wèn)題，他的研究獲獎(jiǎng)。接著又成功地運(yùn)用微分方程理論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個(gè)復(fù)雜的六體問(wèn)題（木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題），為此又一次于1766年獲獎(jiǎng)。

1766年德國(guó)的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請(qǐng)時(shí)說(shuō)，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，居住達(dá)20年之久，開(kāi)始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期。在此期間，他完成了《分析力學(xué)》一書(shū)，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。書(shū)中運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個(gè)分支。

1783年，拉格朗日的故鄉(xiāng)建立了"都靈科學(xué)院"，他被任命為名譽(yù)院長(zhǎng)。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀請(qǐng)，離開(kāi)柏林，定居巴黎，直至去世。

這期間他參加了巴黎科學(xué)院成立的研究法國(guó)度量衡統(tǒng)一問(wèn)題的委員會(huì)，并出任法國(guó)米制委員會(huì)主任。1799年，法國(guó)完成統(tǒng)一度量衡工作，制定了被世界公認(rèn)的長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量的單位，拉格朗日為此做出了巨大的努力。

1791年，拉格朗日被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。1795年建立了法國(guó)最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——法蘭西研究院后，拉格朗日被選為科學(xué)院數(shù)理委員會(huì)主席。此后，他才重新進(jìn)行研究工作，編寫(xiě)了一批重要著作：《論任意階數(shù)值方程的解法》、《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義》，總結(jié)了那一時(shí)期的特別是他自己的一系列研究工作。

與世長(zhǎng)辭

1813年4月3日，拿破侖授予他帝國(guó)大十字勛章，但此時(shí)的拉格朗日已臥床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

主要貢獻(xiàn)

拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過(guò)500篇。

拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18世紀(jì)后半期。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體。數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)的主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大貢獻(xiàn)。下面就拉格朗日的主要貢獻(xiàn)分別評(píng)述。

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)分析的開(kāi)拓者

牛頓和萊布尼茲以后的歐洲數(shù)學(xué)分裂為兩派。英國(guó)仍堅(jiān)持牛頓在《自然哲學(xué)中的數(shù)學(xué)原理》中的幾何方法，進(jìn)展緩慢；歐洲大陸則按萊布尼茲創(chuàng)立的分析方法（當(dāng)時(shí)包括代數(shù)方法），進(jìn)展很快，當(dāng)時(shí)叫分析學(xué)（analysis）。拉格朗日是僅次于歐拉的最大開(kāi)拓者，在18世紀(jì)創(chuàng)立的主要分支中都有開(kāi)拓性貢獻(xiàn)。

變分法

這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果。他的第一篇論文“極大和極小的方法研究”（Recherches sur la méthode demaximis et minimies）[2]是他研究變分法的序幕； 1760年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”（Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies）[3]是用分析方法建立變分法的代表作。發(fā)表前寫(xiě)信給歐拉時(shí)，稱此文中的方法為“變分方法”（themethod of variation）。歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”（the calculus of variation）。變分法這個(gè)分支才真正建立起來(lái)。

拉格朗日方法是對(duì)積分進(jìn)行極值化，函數(shù)y=y(x)待定。他不像歐拉和前人用改變極大或極小化曲線的個(gè)別坐標(biāo)的辦法，而是引進(jìn)通過(guò)端點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲線y(x)的變分。J相應(yīng)的增量△J按δy，δy′展開(kāi)的一、二階項(xiàng)叫一次變分δJ和二次變分δ2J。他用分析方法證明了δJ為零的必要條件就是歐拉方程

他達(dá)繼續(xù)討論了端點(diǎn)變動(dòng)時(shí)的情況以及兩個(gè)自變量的重積分的情況，使這個(gè)分支繼續(xù)發(fā)展。1770年以后，拉格朗日達(dá)研究了被積函數(shù)f包含高階導(dǎo)數(shù)的單重和多重積分時(shí)的情況，已發(fā)展成為變分法的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容。

微分方程

早在都靈時(shí)期，拉格朗日就對(duì)變系數(shù)常微分方程研究做出重大成果。他在降階過(guò)程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。他還把歐拉關(guān)于常系數(shù)齊次方程的結(jié)果推廣到變系數(shù)情況，證明了變系數(shù)齊次方程的通解可用一些獨(dú)立特解乘上任意常數(shù)相加而成；而且在知道方程的m個(gè)特解后，可以把方程降低m價(jià)。

在柏林時(shí)期，他對(duì)常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻(xiàn)，在1774年完成的“關(guān)于微分方程特解的研究”（Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles）[22]中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對(duì)積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線。當(dāng)然，他的奇解理論還不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由G.達(dá)布（Darboux）等人完成的。

常微分方程組的研究在當(dāng)時(shí)結(jié)合天體力學(xué)中的課題進(jìn)行。拉格朗日在1772年完成的“論三體問(wèn)題”（Essai sur le problémedes trois corps）[8]中，找出了三體運(yùn)動(dòng)的常微分方程組的五個(gè)特解：三個(gè)是三體共線情況；兩個(gè)是三體保持等邊三角形；在天體力學(xué)中稱為拉格朗日平動(dòng)解。他同拉普拉斯一起完善的任意常數(shù)變異法，對(duì)多體問(wèn)題方程組的近似解有重大作用，促進(jìn)了攝動(dòng)理論的建立。

拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的。“關(guān)于一階偏微分方程的積分”（Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order）[21]和1785年完成的“一階線性偏微分方程的一般積分方法”（Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires）[23]中，系統(tǒng)地完成了一階偏微分方程的理論和解法。

他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關(guān)系。后來(lái)又進(jìn)一步證明了解線性方程Pp+Qq=R(P，Q，R為x，y，z的函數(shù))(5)與解等價(jià)，而解(6)式又與解常微分方程組等價(jià)。(5)式至今仍稱為拉格朗日方程。有趣的是，由上面已可看出，一階非線性偏微分方程，可以化為解常微分方程組。但拉格朗日自己卻不明確，他在1785年解一個(gè)特殊的一階偏微分方程時(shí)，還說(shuō)不能用這種方法，可能他忘記了自己在1772年的結(jié)果?，F(xiàn)代也有時(shí)稱此方法為拉格朗日方法，又稱為柯西(Cauchy)的特征方法。因拉格朗日只討論兩個(gè)自變量情況，在推廣到n個(gè)自變量時(shí)遇到困難，而后來(lái)由柯西在1819年克服。

方程論

18世紀(jì)的代數(shù)學(xué)從屬于分析，方程論是其中的活躍領(lǐng)域。拉格朗日在柏林的前十年，大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上。

他在代數(shù)方程解法中有歷史性貢獻(xiàn)。在長(zhǎng)篇論文“關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考”（Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421）中，把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因。三次方程有一個(gè)二次輔助方程，其解為三次方程根的函數(shù)，在根的置換下只有兩個(gè)值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個(gè)不同值，因而輔助方程為三次方程。拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預(yù)解函數(shù)（是有理函數(shù)）。他繼續(xù)尋找5次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個(gè)函數(shù)是低于5次的方程的解，但沒(méi)有成功。盡管如此，拉格朗日的想法已蘊(yùn)含著置換群概念，而且使預(yù)解（有理）函數(shù)值不變的置換構(gòu)成子群，子群的階是原置換群階的因子。因而拉格朗日是群論的先驅(qū)。他的思想為后來(lái)的N.H.阿貝爾（Abel）和E.伽羅瓦（Galois）采用并發(fā)展，終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問(wèn)題。

拉格朗日在1770年還提出一種超越方程的級(jí)數(shù)解法。設(shè)p為方程，這就是后來(lái)在天體力學(xué)中常用的拉格朗日級(jí)數(shù)。他自己沒(méi)有討論收斂性，后來(lái)由柯西求出此級(jí)數(shù)的收斂范圍。

數(shù)論

拉格朗日到柏林初期就開(kāi)始研究數(shù)論，第一篇論文“二階不定問(wèn)題的解”（Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés）[14]和送交都靈《論叢》的“一個(gè)算術(shù)問(wèn)題的解”（Solution d'un problème d'arithmetique）[15]中，討論了歐拉多年從事的費(fèi)馬(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A為整數(shù))，(9)

不定問(wèn)題解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)[16]中得到更一般的費(fèi)馬方程

?(B也為整數(shù))(10)的解。還討論了更廣泛的二元二次整系數(shù)方程

?，(11)并解決了整數(shù)解問(wèn)題。

拉格朗日還在1772年的“一個(gè)算術(shù)定理的證明”（De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp.189—201）中，把歐拉40多年沒(méi)有解決的費(fèi)馬另一猜想“一個(gè)正整數(shù)能表示為最多四個(gè)平方數(shù)的和”證明出來(lái)。在1773年發(fā)表的“質(zhì)數(shù)的一個(gè)新定理的證明”（Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers）[17]中，證明了著名的定理：n是質(zhì)數(shù)的充要條件為(n-1)！+1能被n整除。

拉格朗日不僅有大量成果，還在方法上有創(chuàng)新。如在證明(9)式研究”（Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp.695—795）中，研究(11)式解時(shí)采用的方法和結(jié)果，是二次型理論的基本文獻(xiàn)。

函數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)

同18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，拉格朗日也認(rèn)為函數(shù)可以展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，而無(wú)窮級(jí)數(shù)則是多項(xiàng)式的推廣。他還試圖用代數(shù)建立微積分的基礎(chǔ)。在他的《解析函數(shù)論……》（《文集》Ⅸ）中，書(shū)名上加的小標(biāo)題“含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為代數(shù)分析藝術(shù)”，表明了他的觀點(diǎn)。由于回避了極限和級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題，當(dāng)然就不可能建立真正的級(jí)數(shù)理論和函數(shù)論，但是他們的一些處理方法和結(jié)果仍然有用，他們的觀點(diǎn)也在發(fā)展。

拉格朗日就在《解析函數(shù)論……》中，第一次得到微分中值定理（書(shū)中第六章）f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)后面并用它推導(dǎo)出泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)，還給出余項(xiàng)Rn的具體表達(dá)式（第二十章）Rn就是著名的拉格朗日余項(xiàng)形式。他還著重指出，泰勒級(jí)數(shù)不考慮余項(xiàng)是不能用的。雖然他還沒(méi)有考慮收斂性，甚至各階導(dǎo)數(shù)的存在性，但他強(qiáng)調(diào)Rn要趨于零。表明他已注意到收斂問(wèn)題。

他同歐拉、達(dá)朗貝爾等在任意函數(shù)能否表為三角級(jí)數(shù)的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，雖未解決，但為以后三角級(jí)數(shù)理論的建立打下了基礎(chǔ)。

拉格朗日內(nèi)插公式

最后要提一下他在《師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程》中，提出了著名的拉格朗日內(nèi)插公式。

直到現(xiàn)在計(jì)算機(jī)計(jì)算大量中點(diǎn)內(nèi)插時(shí)仍在使用。另外在求多元函數(shù)相對(duì)極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。

其他

除了對(duì)數(shù)學(xué)分析在18世紀(jì)建立的主要分支有開(kāi)拓性貢獻(xiàn)外，他對(duì)嚴(yán)格化問(wèn)題也開(kāi)始注意。盡管回避了極限概念，但他仍承認(rèn)可以在極限基礎(chǔ)上建立微積分（《文集》Ⅰ，p.325）。但正是對(duì)嚴(yán)格化重視不夠，所建立的分支到一定階段就很難深入。這可能是他晚年研究工作少的原因。他在1781年9月21日給達(dá)朗貝爾的信中說(shuō)：“在我看來(lái)，似乎（數(shù)學(xué)）礦井已挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新礦脈，否則勢(shì)必放棄它……”（《文集》XⅢ368）這說(shuō)出了他和其他同事們的心情。事實(shí)表明，19世紀(jì)在建立數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格基礎(chǔ)后，數(shù)學(xué)更迅速地發(fā)展。

分析力學(xué)

分析力學(xué)的創(chuàng)立者

他在所著《分析力學(xué)》(1788)中，吸收并發(fā)展了歐拉、達(dá)朗貝爾等人的研究成果，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析解決質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體、流體)的力學(xué)問(wèn)題。他在總結(jié)靜力學(xué)的各種原理，包括他1764年建立的虛速度原理的基礎(chǔ)上提出分析靜力學(xué)的一般原理，即虛功原理，并同達(dá)朗伯原理結(jié)合而得到動(dòng)力學(xué)普遍方程。對(duì)于有約束的力學(xué)系統(tǒng)，他采用適當(dāng)?shù)淖儞Q，引入廣義坐標(biāo)，得到一般的運(yùn)動(dòng)方程，即第一類和第二類拉格朗日方程。全書(shū)用數(shù)學(xué)分析形式寫(xiě)成，沒(méi)有一幅圖，故名《分析力學(xué)》。書(shū)中還給出多自由度系統(tǒng)平衡位置附近微振動(dòng)的基本理論，但對(duì)振動(dòng)特征方程有重根情況說(shuō)得不確切，這個(gè)錯(cuò)誤直到19世紀(jì)中葉才分別由K．維爾斯特拉斯(1858)和O．H．索莫夫(1859)作了改正。拉格朗日繼歐拉之后研究過(guò)理想流體運(yùn)動(dòng)方程，并最先提出速度勢(shì)和流函數(shù)的慨念，成為流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)理論的基礎(chǔ)。他在《分析力學(xué)》中從動(dòng)力學(xué)普遍方程導(dǎo)出的流體運(yùn)動(dòng)方程，著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，描述每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。這種方法現(xiàn)在稱為拉格朗日方法，以區(qū)別著眼于空間點(diǎn)的歐拉方法，但實(shí)際上這種方法歐拉也應(yīng)用過(guò)。拉格朗日研究過(guò)重剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)并對(duì)剛體的慣性橢球是旋轉(zhuǎn)橢球且重心在對(duì)稱軸上的情況作過(guò)詳細(xì)的分析。這種情況稱為重剛體的拉格朗日情況。這一研究在他生前未發(fā)表，后經(jīng)J．比奈整理，收在《分折力學(xué)》第二版(1818)的附錄中。在此以前，泊松在1811年曾獨(dú)立得到同樣的結(jié)果。拉格朗日在1811年還導(dǎo)得彈性薄板的平衡方程。

天體力學(xué)

天體力學(xué)的奠基者

天體力學(xué)是在牛頓發(fā)表萬(wàn)有引力定律（1687）時(shí)誕生的，很快成為天文學(xué)的主流。它的學(xué)科內(nèi)容和基本理論是在18世紀(jì)后期建立的。主要奠基者為歐拉，A.C.克萊羅（Clairaut）、達(dá)朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯。最后由拉普拉斯集大成而正式建立經(jīng)典天體力學(xué)。拉格朗日一生的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)，但他主要是數(shù)學(xué)家，他要把力學(xué)作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，而又把天體力學(xué)作為力學(xué)的一個(gè)分支對(duì)待。雖然如此，他在天體力學(xué)的奠基過(guò)程中，仍有重大歷史性貢獻(xiàn)。

首先在建立天體運(yùn)動(dòng)方程上，拉格朗日用他在分析力學(xué)中的原理和(16)，(17)式，建立起各類天體的運(yùn)動(dòng)方程。其中特別是根據(jù)他在微分方程解法的任意常數(shù)變異法，建立了以天體橢圓軌道根數(shù)為基本變量的運(yùn)動(dòng)方程，仍稱作拉格朗日行星運(yùn)動(dòng)方程，并在廣泛應(yīng)用，此方程對(duì)攝動(dòng)理論的建立和完善起了重大作用，方程在1780年獲巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)的論文“彗星在行星作用下的攝動(dòng)理論研究”（Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes）[13]中給出，得到達(dá)朗貝爾和拉普拉斯的高度評(píng)價(jià)。另外在一篇有關(guān)三體問(wèn)題的獲獎(jiǎng)文章中[8]，把三體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)方程組第一次降到七階。

在天體運(yùn)動(dòng)方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)三體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解[8]，即拉格朗日平動(dòng)解。其中兩個(gè)解是三體圍繞質(zhì)量中心作橢圓運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，永遠(yuǎn)保持等邊三角形。他的這個(gè)理論結(jié)果在100多年后得到證實(shí)。1907年2月22日，德國(guó)海德堡天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)了一顆小行星[后來(lái)命名為希臘神話中的大力士阿基里斯（Achilles），編號(hào)588]，它的位置正好與太陽(yáng)和木星形成等邊三角形。到1970年前，已發(fā)現(xiàn)15顆這樣的小行星，都以希臘神話中特洛伊(Troy)戰(zhàn)爭(zhēng)中將帥們的名字命名。有9 顆位于木星軌道上前面60°處的拉格朗日特解附近，名為希臘人(Greek)群；有6顆位于木星軌道上后面60°處的解附近，名為脫羅央（Trojan）群。1970年以后又繼續(xù)發(fā)現(xiàn)40多顆小行星位于此兩群內(nèi)，其中我國(guó)紫金山天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)四顆，但尚未命名。至于為什么在特解附近仍有小行星，是因?yàn)檫@兩個(gè)特解是穩(wěn)定的。1961年又在月球軌道前后發(fā)現(xiàn)與地月組成等邊三角形解處聚集的流星物質(zhì)，是拉格朗日特解的又一證明。至今尚未找到肯定在三個(gè)拉格朗日共線群（三體共線情況）處附近的天體，因?yàn)檫@三個(gè)特解不穩(wěn)定。另外，拉格朗日在一階攝動(dòng)理論中也有重要貢獻(xiàn)，提出了計(jì)算長(zhǎng)期攝動(dòng)方法（《文集》Ⅴ，pp.125—414），并與拉普拉斯一起提出了在一階攝動(dòng)下的太陽(yáng)系穩(wěn)定性定理（參見(jiàn)《世界著名科學(xué)家傳記·天文學(xué)家Ⅰ》中“拉普拉斯”條）。此外，拉格朗日級(jí)數(shù)(8)式在攝動(dòng)理論中有廣泛應(yīng)用。

在具體天體的運(yùn)動(dòng)研究中，拉格朗日也有大量重要貢獻(xiàn)，其中大部分是參加巴黎科學(xué)院征獎(jiǎng)的課題。他的月球運(yùn)動(dòng)理論研究論文多次獲獎(jiǎng)。1763年完成的“月球天平動(dòng)研究”（Recherches sur laLibration de la lune）[6]獲1764年度獎(jiǎng)，此文較好地解釋了月球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度差異，但對(duì)月球赤道和軌道面的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律解釋得不夠好。后來(lái)在1780年完成的論文解決得更好（參見(jiàn)《文集》Ⅴ，pp.5—123）。獲1772年度獎(jiǎng)的就是著名的三體問(wèn)題論文[8]，也是針對(duì)月球運(yùn)動(dòng)研究寫(xiě)出的。獲1774年度獎(jiǎng)的論文為“關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期差”（Sur l’equation séculaire de la lune）[9]，其中第一次討論了地球形狀和所有大行星對(duì)月球的攝動(dòng)。關(guān)于行星和彗星運(yùn)動(dòng)的論文也有兩次獲獎(jiǎng)。1776年度獲獎(jiǎng)的是他在1775年完成的三篇論文[10，11，12，]其中討論了行星軌道交點(diǎn)和傾角的長(zhǎng)期變化對(duì)彗星運(yùn)動(dòng)的影響。1780年度的獲獎(jiǎng)?wù)撐木褪翘岢鲋睦窭嗜招行沁\(yùn)動(dòng)方程的那篇[13]。獲1766年度獎(jiǎng)的論文是“木星的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的偏差研究……”（Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…）[7]，其中第一次討論了太陽(yáng)引力對(duì)木星的四個(gè)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的影響，結(jié)果比達(dá)朗貝爾的更好。

拉格朗日從事的天體力學(xué)課題還有很多，如在柏林時(shí)期的前半部分，還研究了用三個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)資料計(jì)算彗星軌道的方法（《文集》Ⅳ，pp.439—532），所得結(jié)果成為軌道計(jì)算的基礎(chǔ)。另外他還得到了一種力學(xué)模型——兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題的解，這是歐拉已討論過(guò)的，又稱為歐拉問(wèn)題。是拉格朗日推廣到存在離心力的情況，故后來(lái)又稱為拉格朗日問(wèn)題（《文集》Ⅱ，pp.67—121）。這些模型仍在應(yīng)用。有人用作人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的近似力學(xué)模型。此外，他在《分析力學(xué)》中給出的流體靜力學(xué)的結(jié)果，后來(lái)成為討論天體形狀理論的基礎(chǔ)。

總的看來(lái)，拉格朗日在天體力學(xué)的五個(gè)奠基者中，所做的歷史性貢獻(xiàn)僅次于拉普拉斯。他創(chuàng)立的“分析力學(xué)”對(duì)以后天體力學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。

研究經(jīng)歷

拉格朗日在柏林期間完成了大量重大研究成果，為一生研究中的鼎盛時(shí)期，多數(shù)論文在上述兩刊物中發(fā)表，少量仍寄回都靈。其中有關(guān)月球運(yùn)動(dòng)（三體問(wèn)題）、行星運(yùn)動(dòng)、軌道計(jì)算、兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題、流體力學(xué)、數(shù)論、方程論、微分方程、函數(shù)論等方面的成果，成為這些領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng)性或奠基性研究。此外，還在概率論、循環(huán)級(jí)數(shù)以及一些力學(xué)和幾何學(xué)課題方面有重要貢獻(xiàn)。他還翻譯了歐拉和A．棣莫弗（De Moivre）的著作。1782年給P．拉普拉斯（Laplace）的信中說(shuō)：“我?guī)缀鯇?xiě)完《分析力學(xué)論述》（Traitéde Mécanique Analytique），但無(wú)法出版。”拉普拉斯安排在巴黎出版，出書(shū)時(shí)已是1788年，拉格朗日已到巴黎了。此書(shū)成為分析力學(xué)的奠基著作。

1783年，老家建立“都靈科學(xué)院”，任命拉格朗日為名譽(yù)院長(zhǎng)。原出版刊物改為《都靈科學(xué)院綜合論叢》（Mélanges des l’Acade-mie des sciences des Turin）。拉格朗日也常寄論文回去發(fā)表。到1786年8月，因支持他的普魯士國(guó)王腓特烈二世去世，決定離開(kāi)柏林。他于1787年5月18日應(yīng)巴黎科學(xué)院邀請(qǐng)動(dòng)身去法國(guó)。

巴黎時(shí)期（1787—1813）。拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科學(xué)院工作。由于他從1772年起就是該院副院士，這次來(lái)工作受到了更熱情的歡迎，可惜達(dá)朗貝爾已在1783年去世。

到巴黎的前幾年，他主要學(xué)習(xí)更廣泛的知識(shí)，如形而上學(xué)、歷史、宗教、醫(yī)藥和植物學(xué)等。1789年爆發(fā)資產(chǎn)階級(jí)革命，他只是有興趣地旁觀。1790年5月8日的制憲大會(huì)上通過(guò)了十進(jìn)位的公制法，科學(xué)院建立相應(yīng)的“度量衡委員會(huì)”，拉格朗日為委員之一。8月8日，國(guó)民議會(huì)決定對(duì)科學(xué)院專政，三個(gè)月后又決定把A. L. 拉瓦錫（Lavoisier），拉普拉斯，C. A. 庫(kù)倫（Coulomb）等著名院士清除出科學(xué)院。但拉格朗日被保留，并任度量衡委員會(huì)主席。

1792年，喪偶9年的拉格朗日同天文學(xué)家勒莫尼埃（LeMonnier）的女兒何蕾-弗朗索瓦-阿德萊德（Renée-Francoise- Adelaide）結(jié)婚，雖未生兒女，但家庭幸福。

1793年9月政府決定逮捕所有在敵國(guó)出生的人，經(jīng)拉瓦錫竭力向當(dāng)局說(shuō)明后，把拉格朗日作為例外。

1794年5月7日法國(guó)雅各賓派開(kāi)庭審判波旁王朝包稅組織人物，把包括拉瓦錫在內(nèi)的28名成員全部處以死刑，拉格朗日等人盡力地挽救，請(qǐng)求赦免，但是遭到了革命法庭副長(zhǎng)官考費(fèi)那爾（J.B.Coffinhal）的拒絕，全部予以駁回，并宣稱，“共和國(guó)不需要學(xué)者，而只需要為國(guó)家而采取的正義行動(dòng)！”第二天5月8日的早晨，拉格朗日痛心地說(shuō)：“他們可以一眨眼就把拉瓦錫的頭砍下來(lái)，但他那樣的頭腦一百年也再長(zhǎng)不出一個(gè)來(lái)了?！?/p>

1795年成立國(guó)家經(jīng)度局，統(tǒng)一管理全國(guó)航海、天文研究和度量衡委員會(huì)，拉格朗日是委員之一。同年成立的兩個(gè)法國(guó)最高學(xué)府：師范學(xué)校和綜合工科學(xué)校中，拉格朗日等為首批教授。在取消對(duì)科學(xué)院的專政后，1795年建立了法國(guó)最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——法蘭西研究院，選舉拉格朗日為第一分院（即科學(xué)院）的數(shù)理委員會(huì)主席。此后他才重新進(jìn)行研究工作，但主要是整理過(guò)去的工作，并結(jié)合教材編寫(xiě)完成一批重要著作。

《分析力學(xué)論述》于1788年出版后，拉格朗日就著手把書(shū)中的原理和方法推廣到一般的情況。他在1810年前發(fā)表的一些論文，

如在《法蘭西學(xué)院文獻(xiàn)》（Memoires de l' Institute）中刊登的“關(guān)于任意常數(shù)變異法在所有力學(xué)問(wèn)題中的一般理論”（Memoirs surla théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique，1809年3月宣讀）等，都是為修改出第二版作準(zhǔn)備。第二版更名為《分析力學(xué)》（Mé-canique analytique），分兩卷，上卷于1811年出版，下卷直到1816年才印出，拉格朗日已去世三年。

他在師范學(xué)校的教材《師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程》（Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l' cole Normale）于1796年出版，后來(lái)收進(jìn)《拉格朗日文集》（Oeuvres de Lagrange，下面簡(jiǎn)稱《文集》），第七卷的內(nèi)容他在1812年做過(guò)大量充實(shí)。

1798年出版的《論任意階數(shù)值方程的解法》（Traité de la résolution des éqnations numériques de tous les degrés），總結(jié)了早年在方程式論方面的成果，并加以系統(tǒng)化，充實(shí)后于1808年再版。

關(guān)于函數(shù)論方面他出版了兩本歷史性著作。一是《解析函數(shù)論，含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或用在消失的量，或極限與留數(shù)等概念，而掃結(jié)為代數(shù)分析藝術(shù)》（Theorie des fonctionsanalytiques，contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits， d'éranouissa-nts，de limites et de fluxions，et réduits à l'analyse algébrique de quantités finies），1797年出版，1813年再版；另一本《函數(shù)計(jì)算教程》（Lecons sur le calcul des fonctions），1801年出版，由師范學(xué)校講義改編。

1799年霧月政變后，拿破侖（Napoleon）提名拉格朗日等著名科學(xué)家為上議院議員及新設(shè)的勛級(jí)會(huì)榮譽(yù)軍團(tuán)成員，封為伯爵；還在1813年4月3日授予他帝國(guó)大十字勛章。此時(shí)拉格朗日已重病在身，終于在4月11日晨逝世。在葬禮上，由議長(zhǎng)拉普拉斯代表上議院，院長(zhǎng)拉賽佩德（Lacépède）代表法蘭西研究院致悼詞。意大利各大學(xué)都舉行了紀(jì)念活動(dòng)，但柏林未進(jìn)行任何活動(dòng)，因當(dāng)時(shí)普魯士加入反法聯(lián)盟。

人物評(píng)價(jià)

拉格朗日是18世紀(jì)的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻(xiàn)。但他主要是數(shù)學(xué)家，拿破侖曾稱贊他是“一座高聳在數(shù)學(xué)界的金字塔”，他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用。使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具。同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上也起了歷史性作用，促使力學(xué)和天文學(xué)（天體力學(xué)）更深入發(fā)展。由于歷史的局限，嚴(yán)密性不夠妨礙著他取得更多的成果。

人物著作

拉格朗日的著作非常多，未能全部收集。他去世后，法蘭西研究院集中了他留在學(xué)院內(nèi)的全部著作，編輯出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷（Serret）主編，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷。第一卷收集他在都靈時(shí)期的工作，發(fā)表在《論叢》第一到第四卷中的論文；第二卷收集他發(fā)表在《論叢》第四、五卷及《都靈科學(xué)院文獻(xiàn)》第一、二卷中的論文；第三卷中有他在《柏林科學(xué)院文獻(xiàn)》（1768—1769年，1770—1773年）發(fā)表的論文； 第四卷刊有他在《柏林科學(xué)院新文獻(xiàn)》（1774—1779年，1781年，1783）年發(fā)表的論文；第五卷刊載上述刊物（1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年）發(fā)表的論文；第六卷載有他未在巴黎科學(xué)院或法蘭西研究院的刊物上發(fā)表過(guò)的文章；第七卷主要刊登他在師范學(xué)校的報(bào)告；第八卷為1808年完成的《各階數(shù)值方程的解法論述及代數(shù)方程式的幾點(diǎn)說(shuō)明》（Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques）一書(shū)；第九卷是1813年再版的《解析函數(shù)論，含有微分學(xué)的主要定理，不用無(wú)窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為代數(shù)分析藝術(shù)》一書(shū)；第十卷是1806年出版的《函數(shù)計(jì)算教程》一書(shū)；第十一卷是1811年出版的《分析力學(xué)》第一卷，并由J．貝特朗(Bertrand)和G．達(dá)布（Darboux）作了注釋；第十二卷為《分析力學(xué)》的第二卷，仍由上述二人注釋，此二卷書(shū)后來(lái)在巴黎重?。?965）；第十三卷刊載他同達(dá)朗貝爾的學(xué)術(shù)通訊；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，歐拉等人的學(xué)術(shù)通訊，此二卷都由L．拉朗（Lalanne）作注釋。還計(jì)劃出第十五卷，包含1892年以后找到的通訊，但未出版。